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求解二体问题中哈密顿算符的本征方程《张朝阳的物理课》介绍分离变量法

来源：中国网科技 2022-05-18 16:22:30

5月13日、15日中午12时，《张朝阳的物理课》第五十三期、五十四期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，用两期时间讨论了波函数在坐标空间的表示，并研究了二体问题中哈密顿算符本征方程的解法，通过选取合适的新变量以及细致的推导，将二体运动方程分解为质心运动部分与相对运动部分。最后讨论了分离变量法与算符对易性的联系，并阐明了算符的对易性与算符共同本征态存在性的关系。

在直播中张朝阳介绍，在经典力学中，用质点的位置和动量来描述物理系统，而在量子力学中则使用波函数来描述，波函数需要满足“单值、连续、可归一”的条件，并且其作为矢量可进行线性叠加得到其它波函数，所有物理波函数构成的线性空间称为希尔伯特空间。

经典力学中经常遇到的可观察量，例如位置、动量、能量等等，在量子力学中则成为希尔伯特空间的线性算符，若算符作用到某个波函数的结果只与原波函数相差一个比例系数，那么该波函数称为该算符的本征态，而对应的比例系数称为此本征态对应的本征值。波函数可以按照这些本征态展开，某一本征态的展开系数的模平方，正是观察波函数时观察量取得对应本征值的概率。张朝阳在直播中不仅求出了动量本征态与坐标本征态，还将一般波函数展开为动量本征态与坐标本征态，并发现坐标空间波函数在某点的值的模平方就是在该点找到粒子的概率密度。

除了动量与坐标算符，哈密顿算符由于出现在薛定谔方程中，它在量子力学中具有非常重要的地位。张朝阳以一维空间的两体问题为例，展现哈密顿算符本征态与本征值的求解过程。两体问题的哈密顿算符中的势能项，将两体的坐标耦合在一起，使得方程难以求解，因此选取质心坐标与相对坐标来代替两体坐标作为波函数的自变量。进一步通过复合函数求导的链式法则，可以将对两体坐标的偏导表示为对质心坐标与相对坐标的偏导的线性叠加，利用这些偏导之间的关系，能把哈密顿算符分解为质心运动部分与相对运动部分之和。

紧接着将波函数写成变量分离的形式并代入哈密顿算符的本征方程中，可以将其分解为两个独立的方程，其中一个是质心运动部分的本征方程，另一个是相对运动部分的本征方程。经过分解的本征方程只有一个变量，相当于原来复杂的二体问题化为了简单的单体问题，进而可以求解出本征态与本征值来。

容易证明上述使用的变量分离形式的波函数是质心运动部分哈密顿算符与相对运动部分哈密顿算符的共同本征态。张朝阳证明了在不简并的情况下，两个对易的算符有共同本征态，反之，若两个算符的共同本征态能构成希尔伯特空间的完备基，那么它们对易。由此可得，质心运动哈密顿算符与相对运动哈密顿算符是对易的，这说明想用分离变量法来求解哈密顿算符的本征方程，那就需要将哈密顿算符分解成相互对易的算符，通过求解这些对易算符相对简单的本征方程来破解原哈密顿算符的本征方程，这正是求解氢原子定态薛定谔方程时用到的方法。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。